Sucesiones

Apuntes de clase

Soluciones de los ejercicios del tema 2

Pinchando aquí puedes ver las soluciones de los ejercicios del tema 2 y comprobar tu trabajo.

"El vórtice de plástico" y "Una verdad incómoda"

El “Vórtice del Plástico” del Océano Pacífico 

EN EL MEDIO DEL OCÉANO PACÍFICO SE ENCUENTRA EL “VÓRTICE DEL PLÁSTICO”, UNA ACUMULACIÓN DE BASURA, EN PARTICULAR DE RESTOS DE PLÁSTICO, REUNIDOS EN UN PUNTO DEL MAR

En el medio del Océano Pacífico, entre Hawaii y Estados Unidos continental, se encuentra el “Vórtice del Plástico”, una acumulación de basura, en particular de restos de plástico, reunidos en un punto del mar.

Científicos calculan que el tamaño del “vortex” de basura es inmenso, casi del tamaño del estado de Texas, 692 mil kilómetros cuadrados, más grande que Francia o España. Los restos de plástico y basura se concentran en una zona debido a un movimiento circular de las corrientes ecuatoriales que gira en dirección de las manecillas del reloj, cerca de las islas Hawai.

El 2 y 4 de agosto, con el apoyo del Instituto Scripps de Oceanografía, un grupo de científicos y ambientalistas iniciaron una expedición con los barcos New Horizon de Scripps en San Diego y el Kaisei de San Francisco para evaluar el impacto del “vortex” en la vida marina del Océano Pacífico. El impacto en la vida del mar es importante ya no sólo muchas especies confunden las bolsas de plástico por medusas, sino además, en la media en la que el plástico se cocina con el sol del océano se despide toxinas al mar que afectan la vida animal. Actualmente más de 60 mil millones de toneladas de plástico se producen cada año y menos del 5% es reciclado. Sólo en los Estados Unidos se producen 100 mil millones de bolsas de plástico, en América Latina no hay estadísticas claras del consumo de bolsas de plástico.

Vídeos:
Indagando TV : La isla flotante de basura. El séptimo continente.

RTVE: La Noche Temática-Océanos de plástico

TED: Chales Moore y los océanos de plástico (subtitulado en español)

Una verdad incómoda

 

Película / documental Una verdad incómoda (título original en inglés: An Inconvenient Truth) es una película documental acerca de la campaña del exvicepresidente de Estados Unidos Al Gore para educar a los ciudadanos sobre el calentamiento global a través de una exhaustiva presentación de diapositivas que, según su propia estimación, ha dado más de mil veces.


Extraido de: Wikipedia y del artículo: Miles de kilómetros de basura se reúnen en el “Vórtice del Plástico” del Océano Pacífico

Logaritmos en Khan Academy

Recuerda que puedes encontrar videos explicativos sobre Logaritmos en Khan Academy desde este enlace o entrando si te has registrado previamente desde el menu de la página web.

Soluciones de los ejercicios del tema 1

Pinchando aquí puedes ver las soluciones de los ejercicios del tema 1 y comprobar tu trabajo.

MINDTRAP: La isla Viceversa

Los "MINDTRAP" son acertijos de pensamiento lateral en los que se ofrece el fragmento de una historia, generalmente de carácter policial o de misterio, y en la que los jugadores deben ir investigando para completarla mediante preguntas cuyas únicas respuestas sean sí, no o irrelevante.A veces son simplemente acertijos en los que la solución suele estar en el mismo texto o tenerla delante y no verla. Cada cierto tiempo iremos dejando un acertijo para que los resolváis. Podéis ir dando vuestras respuestas como comentarios anónimos a esta entrada del blog, recordad incluir sólo vuestro nombre.

La isla de Viceversa es un lugar en que los nativos siempre mienten y los visitantes siempre dicen la verdad. El inspector Sospechas estaba entrevistando a algunos candidatos para incorporarse al cuerpo de policía local. Naturalmente, uno de los requisitos más importantes era que fuesen personas sinceras y veraces. En una de estas entrevistas, el joven con quien estaba hablando le comentó que la mujer que esperaba detrás suyo en la cola le había dicho que era nativa. Explica por qué el joven entrevistado es, o no, adecuado para el trabajo.

Un número llamado e.

Título: Un número llamado e. 

Serie: Más por menos. 

Autor: PÉREZ, ANTONIO. 

Producción y distribución: TVE. 

Duración: 15 minutos.

Casi todo el mundo conoce o, al menos, le suena el número "Pi". Los artistas, arquitectos, pintores, ... conocen al número "Phi" o divina proporción. Sin embargo, el número "e" pasa desapercibido.
El número "e" aparece en las telas de araña, en los intereses del banco, en la datación de restos fósiles o en el juego de dados.
" Examinemos una mañana de niebla la red que se ha construido durante la noche. Los hilos pegajosos están cargados de gotitas y, combándose bajo su carga, se han convertido en multitud de guirnaldas dispuestas en orden exquisito. Si el Sol atraviesa la niebla, el conjunto se ilumina con fuegos iridiscentes y se convierte en un racimo de diamantes.
El nº e ha alcanzado su gloria."
                                               Joan Henri Fabre.
Contenidos:
• Se sitúa en primer lugar el número e en imágenes cotidianas como una tela de araña o los cables de los tendidos de la luz.
• Se dan las primeras cifras del número e.
• Mediante animación, se calculan y se sitúan sobre la recta los primeros términos de la sucesión (1 + 1/n )^n , para llegar a definir el número e como límite de la misma cuando n tiende a infinito.
• Relación del descubrimiento del número e con los logaritmos.
• El número e en los bancos: interés continuo.
• Crecimiento de poblaciones: funciones exponencial y logística.
• El número e ayudante de arqueólogos: cálculo de la antigüedad de organismos por la desintegración del carbono 14.
• El número e juega a los dados: cálculo de probabilidades, distribución normal.
• El número e en los cables de la luz: ecuación de la catenaria.
Las imágenes son escenas de la vida real para apoyar los ejemplos en los que está presente el número e, junto con animaciones para desarrollar los aspectos de cálculo o representaciones gráficas.

Actividad

Este vídeo es un recurso estupendo para introducir el número e en unos cursos en los que no se han estudiado ni sucesiones ni límites de las mismas. Una lograda animación consigue que se “vea” el límite de la sucesión (1 +1/n )^n , sin necesidad de saber previamente la definición del mismo. Hay una referencia histórica al descubrimiento de un número tan raro, y los numerosos ejemplos de la presencia del número e en situaciones cotidianas, permiten una utilización muy variada de este vídeo al tratar diferentes aspectos de las matemáticas.

Contesta a las siguientes preguntas:

1.- ¿Cuánto vale el número e?
2.- ¿A qué debe su popularidad el número e?
3.- ¿Cómo se va generando el número e?
(1 +1/1)^1=
(1 +1/2)^2=
4.- ¿Quién descubrió el nº e?                              ¿Qué otra forma tenemos para generar el número e?
5.- EL NÚMERO e en los BANCOS.
¿Qué es más rentable, que nos den los intereses de un capital al 10% de forma, anual, semestral, mensual, o semanal?
6.- ¿Cuál es la fórmula del crecimiento de una población?
7.- AYUDANTE DE ARQUEÓLOGOS.
¿Qué tiene que ver el nº e, con el cálculo de los años de un fósil?
8.- EN LAS ENCUESTAS.
¿Cuál es la fórmula de la campana de Gauss?                                    ¿Qué otro número famoso aparece en compañía del número e?
9.- EN LOS CABLES DE LA LUZ.
¿Cuál es la forma de cualquier curva de un cable de luz?                          ¿Cuál es su fórmula?

Ampliación de las cuestiones sobre el contenido ( 3 partes online)

El número áureo.

Título: El número áureo. 

Serie: Más por menos. 

Autor: PÉREZ, ANTONIO. 

Producción y distribución: TVE. 

Duración: 20 minutos.

Contenidos:
 • Este es el primero de los vídeos de la serie y, al principio del mismo, el presentador y autor de la misma hace una breve presentación del carácter de la serie y del objetivo que se persigue con ella.
• Rectángulos semejantes, rectángulos áureos.
• Primeras cifras del número de oro y obtención del mismo como solución de la ecuación x^2 – x – 1 = 0.
• Ejemplos de utilización de la proporción áurea en pinturas y monumentos. Caso de la pirámide de Keops.
• Método para construir rectángulos áureos y dibujar la espiral de Durero.
• Formas pentagonales en la naturaleza. Proporción áurea en el pentagrama.
• Ángulo áureo.
• Relación de las medidas de los huevos con el número de oro.
Las imágenes de animales o plantas enlazadas con animaciones facilitan la comprensión de las ideas expuestas. Las expresiones y relaciones matemáticas se traducen en imágenes de animación. En general, los vídeos de esta serie consiguen el objetivo que se persigue: que se “vean” las matemáticas.

Actividad

Este vídeo presenta un ejemplo de número irracional utilizado desde la antigüedad en numerosas creaciones de la humanidad. La presencia de la proporción áurea en numerosas manifestaciones artísticas, y de formas matemáticas en objetos de la naturaleza, es un buen pretexto para resaltar la relación de las matemáticas con el arte y la naturaleza. 

Contesta a las siguientes preguntas:

1. ¿Cuándo son semejantes dos rectángulos? 

2. ¿Qué es un rectángulo áureo? 

3. Resuelve la ecuación que da lugar al número de oro. 

4. ¿Dónde aparece el número de oro en la pirámide de Keops? 

5. ¿Cuál es el procedimiento para dibujar rectángulos áureos? Dibuja algunos. 

6. ¿Cómo se obtiene la espiral de Durero? Dibújala. 

7. Dibuja un pentagrama. 

8. ¿Con qué matemático y filósofo está relacionado el pentagrama? 

9. ¿Qué relación podemos establecer entre el número de oro y un pentagrama?

 Ampliación de las cuestiones sobre el contenido ( 3 partes online)

Potencias de diez.

Título: Potencias de diez. 

Producción: IBM.

Distribución: Áncora Audiovisual, S. A.. 

Duración: 10 minutos

A partir de una imagen de 1 × 1 m vista desde 1 m de distancia, se hacen ampliaciones sucesivas en potencias de base 10, cada 10 segundos, hasta llegar a 10^24 metros de la escena inicial, y a continuación reducciones hasta llegar a 10^16 metros. Consigue que se perciba el paso de lo infinitamente grande a lo infinitamente pequeño, y que se aprecie el tamaño relativo de los objetos del universo.

Actividad

 Contesta a las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es el tamaño de la imagen inicial y desde qué distancia se ve? 

2. ¿A qué distancia se ve la Tierra entera? 

3. ¿A qué distancia salimos del sistema solar? 

4. ¿A cuántos metros equivale un año-luz? 

5. ¿A qué distancia salimos de la Vía Láctea? 

6. ¿A cuántos metros equivale una micra? 

7. ¿A cuántos metros equivale un ángstrom?

8. ¿Cuál es el final del viaje y a qué distancia de la escena inicial está?

Potencias de 10 (versión Los Simpson)